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3. (3) 硬球动力学 $\bm{z}_{N}(t)$。给定初始构型 $\bm{z}_{N}^{0}=(z_{1}^{0},\cdots,z_{N}^{0})\in\mathcal{D}_{N}$，我们定义硬球动力学 $\bm{z}_{N}(t)=(z_{j}(t))_{1\leq j\leq N}$ 为如下动力系统的时间演化： (a) 我们有 $\bm{z}_{N}(0)=\bm{z}_{N}^{0}$。 (b) 假设对于 $t^{\prime}\in[0,t]$，$\bm{z}_{N}(t^{\prime})$ 已知。若对某个 $(i,j)$ 有 $|x_{i}(t)-x_{j}(t)|_{\mathbb{T}}=\varepsilon$，则我们有 (1.4) $\left\{\begin{aligned} x_{i}(t^{+})&=x_{i}(t),\quad x_{j}(t^{+})=x_{j}(t),\\ v_{i}(t^{+})&=v_{i}(t)-\big((v_{i}(t)-v_{j}(t))\cdot\omega\big)\omega,\quad\omega:=(x_{i}(t)-x_{j}(t))/\varepsilon\in\mathbb{S}^{d-1};\\ v_{j}(t^{+})&=v_{j}(t)+\big((v_{i}(t)-v_{j}(t))\cdot\omega\big)\omega.\end{aligned}\right.$ 这里 $t^{+}$ 表示在时刻 $t$ 的右极限，见图 2。注意 $x_{j}(t)$ 在 $t$ 中总是连续的；在此定义中，我们还始终要求 $v_{j}(t)$ 在 $t$ 中是左连续的，因此 $v_{j}(t)=v_{j}(t^{-})$。 Figure 2. 硬球动力学（定义 1.1（3b））的示意图：$(v_{i}(t),v_{j}(t))=(v_{i}(t^{-}),v_{j}(t^{-}))$ 和 $(v_{i}(t^{+}),v_{j}(t^{+}))$ 是入射和出射速度，$\varepsilon\omega$ 是连接两个碰撞粒子中心的向量，其长度为 $\varepsilon$。 (c) 如果对于某些 $i$ 不存在 $j$ 使得（3b）中的情形发生，那么我们有 (1.5) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(x_{i},v_{i})=(v_{i},0).$ 这里（以及下文中）(1.5) 中的 $\mathrm{d}x_{i}/\mathrm{d}t$ 被理解为 $x_{i}\in\mathbb{T}^{d}$ 的一个合适 $\mathbb{R}^{d}$ 代表的时间演化。